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          浙江省杭州市2012-2014年中考数学试题分类解析汇编专题6:压轴题

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          杭州市 2012-2014 年中考数学试题分类解析汇编 专题 6:压轴题
          一、选择题

          1. (3 分) (2014?杭州) 已知 AD∥BC, AB⊥ AD, 点 E, 点 F 分别在射线 AD, 射线 BC 上. 若 点 E 与点 B 关于 AC 对称,点 E 与点 F 关于 BD 对称,AC 与 BD 相交于点 G,则(
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          A.1+tan∠ ADB=

          B.2BC=5CF

          AEB+22°=∠ DEF D.4cos∠ C.∠ AGB=

          考点: 轴对称的性质;解直角三角形. 分析: 连接 CE,设 EF 与 BD 相交于点 O,根据轴对称性可得 AB=AE,并设为 1,利用勾 股定理列?#35282;?#20986; BE,再根据翻折的性质可得 DE=BF=BE,再求出 BC=1,然后对各 选项分析判断利用排除法求解. 解答: 解:如图,连接 CE,设 EF 与 BD 相交于点 O, 由轴对称性得,AB=AE,设为 1, 则 BE= = ,

          ∵ 点 E 与点 F 关于 BD 对称, ∴ DE=BF=BE= ∴ AD=1+ , ,

          ∵ AD∥ BC,AB⊥ AD,AB=AE, ∴ 四边形 ABCE 是正方形, www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 (共 14 页) 版权所有@21 世纪教育网

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          ∴ BC=AB=1, 1+tan∠ ADB=1+ CF=BF﹣BC= ∴ 2BC=2×1=2, 5CF=5( ﹣1) , =1+ ﹣1, ﹣1= ,故 A 选项结论正确;

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          ∴ 2BC≠5CF,故 B 选项结论错误; ∠ AEB+22°=45°+22°=67°, 在 Rt△ ABD 中,BD= sin∠ DEF= = = = , = ,

          ∴ ∠ DEF≠67°,故 C 选项结论错误; 由勾股定理得,OE =( ∴ OE= ,
          2

          ) ﹣(

          2

          )=

          2



          ∵ ∠ EBG+∠ AGB=90°, ∠ EGB+∠ BEF=90°, ∴ ∠ AGB=∠ BEF, 又∵ ∠ BEF=∠ DEF,

          ∴ 4cos∠ AGB= 故选 A.

          =

          =

          ,故 D 选项结论错误.

          点评: 本题考查了轴对称的性质,解直角三角形,等腰直角三角形的判定与性质,正方形的 判定与性质,熟记性?#36866;?#35299;题的关键,设出边长为 1 可使求解过程更容易理解.

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          登陆 21 世纪教育 二、填空题

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          1. (2013 杭州)射线 QN 与等边△ ABC 的两边 AB,BC 分别交于点 M,N,且 AC∥ QN, AM=MB=2cm,QM=4cm.动点 P 从点 Q 出发,沿射线 QN 以每秒 1cm 的速度向右移动, 经过 t 秒,以点 P 为圆心, 取的一切值 cm 为半径的圆与△ ABC 的边相切(切点在边上) ,请写出 t 可 (单位:秒)21·cn·jy·com

          考点:切线的性质;等边三角形的性质. 专题:分类讨论. 分析: 求出 AB=AC=BC=4cm, MN= AC=2cm, ∠ BMN=∠ BNM=∠ C=∠ A=60°, 分为三种情况: 画出图形,结合图形求出即可;2·1·c·n·j·y 解答:解:∵ △ ABC 是等边三角形, ∴ AB=AC=BC=AM+MB=4cm,∠ A=∠ C=∠ B=60°, ∵ QN∥ AC,AM=BM. ∴ N 为 BC 中点, ∴ MN= AC=2cm,∠ BMN=∠ BNM=∠ C=∠ A=60°, 分为三种情况:① 如图 1,

          当⊙ P 切 AB 于 M′ 时,连接 PM′ , 则 PM′ = cm,∠ PM′ M=90°,

          ∵ ∠ PMM′ =∠ BMN=60°, ∴ M′ M=1cm,PM=2MM′ =2cm,
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          ∴ QP=4cm﹣2cm=2cm, 即 t=2;

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          ② 如图 2,

          当⊙ P 于 AC 切于 A 点时,连接 PA, 则∠ CAP=∠ APM=90°,∠ PMA=∠ BMN=60°,AP= ∴ PM=1cm, ∴ QP=4cm﹣1cm=3cm, 即 t=3, 当⊙ P 于 AC 切于 C 点时,连接 PC, 则∠ CP′ N=∠ ACP′ =90°,∠ P′ NC=∠ BNM=60°,CP′ = ∴ P′ N=1cm, ∴ QP=4cm+2cm+1cm=7cm, 即当 3≤t≤7 时,⊙ P 和 AC 边相切; cm, cm,

          ③ 如图 1,

          当⊙ P 切 BC 于 N′ 时,连接 PN′ 3 则 PN′ = cm,∠ PM\N′ N=90°,

          ∵ ∠ PNN′ =∠ BNM=60°, ∴ N′ N=1cm,PN=2NN′ =2cm,
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          ∴ QP=4cm+2cm+2cm=8cm, 即 t=8; 故答案为:t=2 或 3≤t≤7 或 t=8.

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          点评:本题考查了等边三角形的性质,平行线的性质,勾股定理,含 30 度角的直角三角形 性质,切线的性质的应用,主要考查学生综合运用定理进行计算的能力,注意要进行 分类讨论啊.
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          三、解答题

          1. (12 分) (2014?杭州)菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,AC=4

          ,BD=4,

          动点 P 在线段 BD 上从点 B 向点 D 运动,PF⊥ AB 于点 F,四边形 PFBG 关于 BD 对称,四 边形 QEDH 与四边形 PEBG 关于 AC 对称.设菱形 ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积 为 S1,未被盖住部分的面积为 S2,BP=x. 【版权所有:21 教育】21 教育网 (1)用含 x 的代数式分别表示 S1,S2; (2)若 S1=S2,求 x 的值.

          考点: 四边形综合题;菱形的性质;轴对称的性质;轴对称图形;特殊角的三角函数值. 专题: 综合题;动点型;分类讨论.
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          分析: (1)根据对称性确定 E、F、G、H 都在菱形的边上,由于点 P 在 BO 上与点 P 在 OD 上求 S1 和 S2 的方法不同,因此需分情况讨论. (2)由 S1=S2 和 S1+S2=8 可以求出 S1=S2=4 .然后在两种情况下分别建立关于

          x 的方程,解方程,结合不同情况下 x 的?#27573;?#30830;定 x 的值. 解答: 解: (1)① 当点 P 在 BO 上时,如图 1 所示. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,AC=4 ,BD=4, ,

          ∴ AC⊥ BD,BO= BD=2,AO= AC=2 且 S 菱形 ABCD= BD?AC=8 ∴ tan∠ ABO= ∴ ∠ ABO=60°. 在 Rt△ BFP 中, ∵ ∠ BFP=90°,∠ FBP=60°,BP=x, ∴ sin∠ FBP= ∴ FP= x. = =sin60°= . = . .

          ∴ BF= . ∵ 四边形 PFBG 关于 BD 对称, 四边形 QEDH 与四边形 PEBG 关于 AC 对称, ∴ S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ. ∴ S1=4S△BFP =4× × = ∴ S2=8 x? . ﹣ .

          ② 当点 P 在 OD 上时,如图 2 所示. ∵ AB=4,BF= ,
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          ∴ AF=AB﹣BF=4﹣ . 在 Rt△ AFM 中, ∵ ∠ AFM=90°,∠ FAM=30°,AF=4﹣ . ∴ tan∠ FAM= ∴ FM= =tan30°= .

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          (4﹣ ) .

          ∴ S△AFM= AF?FM = (4﹣ )? =
          2

          (4﹣ )

          (4﹣ ) .

          ∵ 四边形 PFBG 关于 BD 对称, 四边形 QEDH 与四边形 PEBG 关于 AC 对称, ∴ S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN. ∴ S2=4S△AFM =4× = (4﹣ )
          2 2

          (x﹣8) . ﹣S2=8 ﹣ (x﹣8) .
          2

          ∴ S1=8

          综上所述: 当点 P 在 BO 上时,S1= 当点 P 在 OD 上时,S1=8 ,S2=8 ﹣ ﹣
          2

          ; (x﹣8) .
          2

          (x﹣8) ,S2=

          (2)① 当点 P 在 BO 上时,0<x≤2. ∵ S1=S2,S1+S2=8 ∴ S1=4 ∴ S1= . =4 . ,x2=﹣2 . ,

          解得:x1=2
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          ∵ 2 >2,﹣2 <0,

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          ∴ 当点 P 在 BO 上时,S1=S2 的情况不存在.

          ② 当点 P 在 OD 上时,2<x≤4. ∵ S1=S2,S1+S2=8 ∴ S2=4 ∴ S2= . (x﹣8) =4
          2



          . .

          解得:x1=8+2 ∵ 8+2

          ,x2=8﹣2

          >4,2<8﹣2 .

          <4,

          ∴ x=8﹣2

          综上所述:若 S1=S2,则 x 的值为 8﹣2



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          点评: 本题考查了以菱形为背景的轴对称及轴对称图形的相关知识,考查了菱形的性?#30465;?#29305; 殊角的三角函数值等知识,还考查了分类讨论的思想.

          2. (2013 杭州)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,对称中心为点 P,点 F 为 BC 边上一 个动点,点 E 在 AB 边上,且满足条件∠ EPF=45°,图中两块阴影部分图形关于直线 AC 成轴 对称,设它们的面积和为 S1. 【来源:21·世纪·教育·网】 (1)求证:∠ APE=∠ CFP; (2)设四边形 CMPF 的面积为 S2,CF=x, .

          ① 求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值?#27573;В?#24182;求出 y 的最大值; ② 当图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称时,求 y 的值.

          考点:四边形综合题.
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          分析: (1)利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论; (2)本问关键是求出 y 与 x 之间的函数解析式.

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          ① 首先分别用 x 表示出 S1 与 S2, 然后计算出 y 与 x 的函数解析式. 这是一个二次函数, 求出其最大值; ② 注意中心对称、轴对称的几何性质. 解答: (1)证明:∵ ∠ EPF=45°, ∴ ∠ APE+∠ FPC=180°﹣45°=135°; 而在△ PFC 中,由于 PF 为正方形 ABCD 的对角线,则∠ PCF=45°, 则∠ CFP+∠ FPC=180°﹣45°=135°, ∴ ∠ APE=∠ CFP.

          (2)解:① ∵ ∠ APE=∠ CFP,且∠ FCP=∠ PAE=45°, ∴ △ APE∽ △ CPF,则 . AB= ,

          而在正方形 ABCD 中,AC 为对角线,则 AC= 又∵ P 为对称中心,则 AP=CP= ∴ AE= = = . ,

          如图,过点 P 作 PH⊥ AB 于点 H,PG⊥ BC 于点 G,

          P 为 AC 中点,则 PH∥ BC,且 PH= BC=2,同理 PG=2. S△APE= = ×2× = ,

          ∵ 阴影部分关于直线 AC 轴对称, ∴ △ APE 与△ APN 也关于直线 AC 对称,

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          则 S 四边形 AEPN=2S△APE= 而 S2=2S△PFC=2× ; =2x, ﹣2x,

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          ∴ S1=S 正方形 ABCD﹣S 四边形 AEPN﹣S2=16﹣

          ∴ y=

          =

          =

          + ﹣1.

          ∵ E 在 AB 上运动,F 在 BC 上运动,且∠ EPF=45°, ∴ 2≤x≤4. 令 =a,则 y=﹣8a +8a﹣1,当 a=
          2

          = ,即 x=2 时,y 取得最大值.

          而 x=2 在 x 的取值?#27573;?#20869;,代入 x=2,则 y 最大=4﹣2﹣1=1. ∴ y 关于 x 的函数解析式为:y= + ﹣1(2≤x≤4) ,y 的最大值为 1.

          ② 图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称, 而此两块图形也关于直线 AC 成轴对称,则阴影部分图形自身关于直线 BD 对称, 则 EB=BF,即 AE=FC, ∴ =x,解得 x= 代入 x= , ﹣2.

          ,得 y=

          点评:本题是代数几何综合题,考查了正方形的性?#30465;?#30456;似三角形、二次函数的解析式与最 值、几何变换(轴对称与中心对称) 、图形面积的计算等知识点,涉及的考点较多, 有一定的难度. 本题重点与难点在于求出 y 与 x 的函数解析式, 在计算几何图形面积 时涉及大量的计算,需要细心计算避免出错.
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          3. (2012?杭州) 如图, AE ?#23567;?O 于点 E, AT 交⊙ O 于点 M, N, 线段 OE 交 AT 于点 C, OB⊥ AT 于点 B,已知∠ EAT=30°,AE=3 (1)求∠ COB 的度数; (2)求⊙ O 的半径 R; www.21cnjy.com 精品资料·第 11 页 (共 14 页) 版权所有@21 世纪教育网 ,MN=2 .21·世纪*教育网

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          (3)点 F 在⊙ O 上(

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          是劣弧) ,且 EF=5,?#36873;?OBC 经过平移、旋转和相似变换后,使它

          的两个顶点分别与点 E,F 重合.在 EF 的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中 ?#39029;?#21478;一个顶点在⊙ O 上的三角形吗?请在图中画出这个三角形, 并求出这个三角形与△ OBC 的周长之比.www-2-1-cnjy-com

          考点:切线的性质;含 30 度角的直角三角形;勾股定理;垂径定理;平移的性质;旋转的 性质;相似三角形的判定与性?#30465;?专题?#26477;?#31639;题。 分析:(1)由 AE 与圆 O 相切,根据切线的性质得到 AE 与 CE 垂直,又 OB 与 AT 垂直, 可得出两直角相等,再由一对对顶角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得 出三角形 AEC 与三角形 OBC 相似, 根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与 ∠ A 相等,由∠ A 的度数即可求出所求角的度数; (2)在直角三角形 AEC 中,由 AE 及 tanA 的值,利用锐角三角函数定义求出 CE 的 长,再由 OB 垂直于 MN,由垂径定理得到 B 为 MN 的中点,根据 MN 的长求出 MB 的长,在直角三角形 OBM 中,由半径 OM=R,及 MB 的长,利用勾股定理表示出 OB 的长,在直角三角形 OBC 中,由表示出 OB 及 cos30°的值,利用锐角三角函数定 义表示出 OC,用 OE﹣OC=EC 列出关于 R 的方程,求出方程的解得到半径 R 的值; (3) ?#36873;?OBC 经过平移、 旋转和相似变换后, 使它的两个顶点分别与点 E, F 重合. 在 EF 的同一侧,这样的三角形共有 6 个,如图所示,每小图 2 个,顶点在圆上的三角 形,延长 EO 与圆交于点 D,连接 DF,由第二问求出半径,的长直径 ED 的长,根据 ED 为直径, 利用直径所对的圆周角为直角, 得到三角形 EFD 为直角三角形, 由∠ FDE 为 30°,利用锐角三角函数定义求出 DF 的长,表示出三角形 EFD 的周长,再由第二 问求出的三角形 OBC 的三边表示出三角形 BOC 的周长, 即可求出两三角形的周长之 www.21cnjy.com 精品资料·第 12 页 (共 14 页) 版权所有@21 世纪教育网

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          比. 解答:解: (1)∵ AE ?#23567;?O 于点 E, ∴ AE⊥ CE,又 OB⊥ AT, ∴ ∠ AEC=∠ CBO=90°, 又∠ BCO=∠ ACE, ∴ △ AEC∽ △ OBC,又∠ A=30°, ∴ ∠ COB=∠ A=30°;

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          (2)∵ AE=3

          ,∠ A=30°, ,即 EC=AEtan30°=3, ,

          ∴ 在 Rt△ AEC 中,tanA=tan30°=

          ∵ OB⊥ MN,∴ B 为 MN 的中点,又 MN=2 ∴ MB= MN= ,

          连接 OM,在△ MOB 中,OM=R,MB= ∴ OB= = ,



          在△ COB 中,∠ BOC=30°, ∵ cos∠ BOC=cos30°= ∴ BO= ∴ OC= OC, OB= , = ,

          又 OC+EC=OM=R, ∴ R= +3,

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          整理得:R +18R﹣115=0,即(R+23) (R﹣5)=0, 解得:R=﹣23(舍去)或 R=5, 则 R=5;
          2

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          (3)在 EF 同一侧,△ COB 经过平移、旋转和相似变换后,这样的三角形有 6 个, 如图,每小图 2 个,顶点在圆上的三角形,如图所示:

          延长 EO 交圆 O 于点 D,连接 DF,如图所示, ∵ EF=5,直径 ED=10,可得出∠ FDE=30°, ∴ FD=5 , =15+5 , ) : (3+ )=5:1. ,

          则 C△EFD=5+10+5

          由(2)可得 C△COB=3+ ∴ C△EFD:C△COB=(15+5

          点评:此题考查了切线的性质,垂径定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质,含 30°直 角三角形的性质,平移及旋转的性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握定理及性质 是解本题的关键.

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